对于 $v=(v_1,v_2,\ldots,v_n)$, $w=(w_1,w_2,\ldots,w_n)\in\mathbb{Q}^n$, 定义内积 $\langle v,w\rangle=v_1 w_1+v_2 w_2+\cdots+v_n w_n$. 称 $\sigma$ 是正交变换, 如果对任意 $v,w$, 均有 $\langle\sigma(v),\sigma(w)\rangle=\langle v,w\rangle$. 求证: 对任意正交变换 $\sigma$, 存在正交变换 $\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_k$, 使得 $\sigma=\tau_1 \tau_2 \cdots \tau_k$, 其中 $\{v\in V\mid\tau_i(v)=v\}$ 的维数为 $n-1$.
对于 $v=(v_1,v_2,\ldots,v_n)$, $w=(w_1,w_2,\ldots,w_n)\in\mathbb{Q}^n$, 定义内积
\[\langle v,w\rangle=v_1 w_1+v_2 w_2+\cdots+v_n w_n.\]
称 $\sigma$ 是正交变换, 如果对任意 $v,w$, 均有 $\langle\sigma(v),\sigma(w)\rangle=\langle v,w\rangle$.
求证: 对任意正交变换 $\sigma$, 存在正交变换 $\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_k$, 使得 $\sigma=\tau_1 \tau_2 \cdots \tau_k$, 其中 $\{v\in V\mid\tau_i(v)=v\}$ 的维数为 $n-1$.